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Spannungsabfall über Verbindungen

Ich wähle mal das Beispiel eines Aufliegers mit der Länge von ca. 80cm und einer Breite von ca. 17cm. Dabei wurden die Spannungsabfälle der Zugmaschine ver-
nachlässigt.

Weitere Vorgaben:

U = 12V
L1 bis L4 = 12V / 70mA (Glühlampen)
Querschnitt der Leitungen = 0,22mm˛

Stellt man die Schaltung nun mit den Kontaktwiderständen der Steckkontakte (R_Stecker), den Leitungswiderständen (R_Leitung), den Übergangswiderständen der Lötpunkte (R_Löt) und den Widerständen der Lampen (R_Lampe) dar, sieht sie wie folgt aus.

Damit ergeben sich jetzt folgende Berechnungen.

Der Widerstand einer Glühlampe beträgt

R_Lampe = U / I = 12V / 70mA = 171,4Ω

Plus die Übergangswiderstände der zwei Lötstellen (Reihenschaltung)

R_r1 = R_r2 = R_r3 = R_r4 = R_Lampe + (2 · R_Löt) = 171,4Ω + (2 · 0,1Ω) = 171,6Ω

Bei einer Vernachlässigung der Leitungen von den Zuleitungen zu den Lampen ergibt sich jeweils für zwei Lampen (Parallelschaltung) ein Gesamtwiderstand von

R_p1 = R_p2 = R_r1 / 2 = 171,6Ω / 2 = 85,81Ω

Der Widerstand einer Leitung berechnet sich mit folgender Formel

Dabei handelt es sich aber um die Berechnung für eine einadrige Kupferleitung - keine Litze (!). Ich verwende aber wegen der besseren Verlegungsmöglichkeit (man kann sie den baulichen Gegebenheiten besser anpassen) und der geringe-
ren Bruchgefahr lieber die Litze. Wir wollen diese Rechnung aber trotzdem mal für einen späteren Vergleich durchführen.

Und somit berechnet sich der Widerstand der Zuleitung zu den Lampen wie folgt

R_{Leitung 1} = l / (k · A) = 1m / (56 · 0,22mm˛) = 81mΩ

Für die Zu- und Rückleitung ergibt sich somit ein Widerstand (Reihenschaltung) von

R_{Leitung 1/2} = R_{Leitung 1} · 2 = 81mΩ · 2 = 162mΩ

Laut der Tabelle auf der Hauptseite ergibt sich ein Wert von

R_{Leitung 1/2} = R_{Tabelle 1} · l · 2 = 96mΩ/m · 1m · 2 = 192mΩ

mit dem wir jetzt auch wegen der realeren Verhältnisse weiter rechnen wollen.

Die gleiche Rechnung machen wir jetzt auch für die beiden 17cm langen Leitungen und erhalten

R_{Leitung 3/4} = 27,6mΩ

R_{Leitung 3/4} = 32,6mΩ (laut Tabellenwert)

Für den rechten Teil der Schaltung (Reihenschaltung) ergibt sich jetzt

R_{gesamt 2} = R_Rp2 + R_{Leitung 3/4} = 85,81Ω + 32,6mΩ = 85,84Ω

Dieser Widerstand liegt nun parallel zu den Lampen 1/2 (R_p1).

R_{gesamt 1} = (R_p1 · R_{gesamt 2}) / (R_p1 + R_{gesamt 2}) =
= (85,81Ω · 85,84Ω) / (85,81Ω + 85,84Ω) = 42,913Ω

Nun sind noch die Kontaktwiderstände der Leiterplatten-Steckverbinder zu berücksichtigen:

R_Stecker = 2 · 10mΩ = 20mΩ

Somit ergibt sich ein Gesamtwiderstand der Schaltung von

R_gesamt = R_Stecker + R_{Leitung 1/2} + R_{gesamt 1} =
= 20mΩ + 192mΩ + 42,913Ω = 43,125Ω

und ein Strom in der Zuleitung von

I_gesamt = U / R_gesamt = 12V / 43,125Ω = 278,3mA

Damit ergibt sich über der Teilschaltung R_r1 eine Spannung von

U_r1 = U - (I_gesamt · (R_Stecker + R_{Leitung 1/2}) =
= 12V - (278,3mA · (20mΩ + 192mΩ)) = 11,941V

ein Strom durch eine Lampe (1 oder 2) von

I_{Lampe 1/2} = U_r1 / (2 · R_p1) = 11,941V / (2 · 85,81Ω) = 69,6mA

einer Spannung über den Lampen 1 und 2 von

U_{Lampe 1/2} = U_r1 - (2 · R_Löt · I_{Lampe 1/2}) =
= 11,941V - (2 · 0,1Ω · 69,6mA) = 11,927V

und einer realen Leistung der Lampe von

P_{Lampe 1/2} = U_{Lampe 1/2} · I_{Lampe 1/2} = 11,927V · 69,6mA = 0,830W

Damit ergibt sich für die Lampen 1 und 2 ein Spannungsverlust von

U_{a 12} = U - U_{Lampe 1/2} = 12V - 11,927V = 0,073V
U_{a 12%} =  (U_{a 1/2} / U) · 100% = (0,073V / 12V) · 100% = 0,608%

und einem Leistungsverlust von

P_{a 12} = (U_Lampe · I_Lampe) - P_{Lampe 1/2} = (12V · 70mA) - 0,830W = 0,010W
P_{a 12 %} = P_{a 12} / (U_Lampe · I_Lampe) · 100% =
= 0,010W / (12V · 70mA) · 100% = 1,19%

Nun kommen wir zur Berechnung des rechten Teils der Schaltung.

Der Strom in den rechten Teil beträgt

I₃  = I_gesamt - (2 · I_{Lampe 1/2}) = 278,3mA - (2 · 69,6mA) = 139,1mA

Damit ergibt sich über der Teilschaltung R_r3 eine Spannung von

U_r3 = U_r1 - (R_{Leitung 3/4} · I₃) = 11,941V - (32,6mΩ · 139,1mA) = 11,937V

ein Strom durch eine Lampe (3 oder 4) von

I_{Lampe 3/4} = U_r3 / (2 · R_p2) = 11,937V / (2 · 85,81Ω) = 69,6mA

einer Spannung über den Lampen 3 und 4 von

U_{Lampe 3/4} = U_r3 - (2 · R_Löt · I_{Lampe 3/4}) =
= 11,937V - (2 · 0,1Ω · 69,6mA) = 11,923V

und einer realen Leistung der Lampe von

P_{Lampe 3/4} = U_{Lampe 3/4} · I_{Lampe 3/4} = 11,923V · 69,6mA = 0,830W

Damit ergibt sich für die Lampen 1 und 2 ein Spannungsverlust von

U_{a 34} = U - U_{Lampe 3/4} = 12V - 11,923V = 0,077V
U_{a 34%} =  (U_{a 3/4} / U) · 100% = (0,077V / 12V) · 100% = 0,642%

und einem Leistungsverlust von

P_{a 34} = (U_Lampe · I_Lampe) - P_{Lampe 3/4} = (12V · 70mA) - 0,830W = 0,010W
P_{a 34 %} = P_{a 34} / (U_Lampe · I_Lampe) · 100% =
= 0,010W / (12V · 70mA) · 100% = 1,19%

Ein Vergleich der eben ausgeführten Rechnung mit unterschiedlichen Leitungs-
querschnitten mit etwas genaueren Werten (geringere Rundungsfehler):

Man kann aus der Tabelle erkennen, dass die Verluste sich nur im geringen Pro-
zentbereich bewegen. Aber man muss ja nicht Probleme (zusätzliche Erwärmung) oder reduzierte Leistung durch zu dünne Leitungen, zu lange Leitungen oder un-
nütze / überflüssige Verbindungen provozieren.

Hätte man die Schaltung mit vier LEDs (1,6V; 20mA) und entsprechenden Vor-
widerstanden (es wurde dabei der theoretische Wert von 520Ω und nicht der real installierte Wert von 560Ω gewählt - wir wollen ja die Verluste über den Leitungen und Verbindungen vergleichen und nicht die Verluste über den Vor-
widerständen) ausgeführt, ergäben sich folgende Werte:

Jetzt kann man schön die geringeren Verluste bei geringerer Last erkennen. Die Verluste verhalten sich ca. im Verhältnis der Lastenströme der einzelnen Leucht-
mittel (70mA / 20mA = 3,5).
Bedeutet: die Verluste bei den LEDs sind ca. um den Faktor 3,5 kleiner.

Der für mich noch wichtigere Punkt ist aber, dass die Leistungsaufnahme der gesamten Schaltung z.B. bei einem Leiterquerschnitt von 0,22mm˛ bei den

beträgt. Bei der Benutzung von LEDs entlaste ich nämlich meine Akkumulatoren (in allgemeinen deutschen Sprachgebrauch auch Akkus genannt). Eine längere Nutzungsdauer oder Fahrzeit ist damit gewährleistet.

Erstellt am: 15.10.2007
Letzte Aktualisierung: 02.11.2007

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