*
Die Sinuswechselspannung
Die wohl bekannteste Spannungsform ist die Sinuswechselspannung.
Jeder kennt sie aus der Steckdose mit einer Spannung von ehemals
220Veff und heute 230Veff
und mit einer Frequenz von 50Hz.
Dazu ein paar grundlegende Formeln:
| mit: |
| f |
= |
Frequenz |
in Hz |
Hertz |
oder in 1/s |
| T |
= |
Periodendauer |
in s |
|
oder in ms |
| ω |
= |
Kreisfrequenz |
1/s |
|
|
| π |
= |
Pi |
|
|
= 3,1416 |
| t |
= |
Zeit |
in s |
|
oder in ms |
| u |
= |
Augenblickswert der
Spannung |
in V |
Volt |
oder in mV |
| û |
= |
Maximalwert der Spannung |
in V |
Volt |
oder in mV |
| U |
= |
Effektivwert der Spannung |
in V |
Volt |
oder in mV |
| i |
= |
Augenblickswert des
Stromes |
in A |
Ampere |
oder in mA |
| î |
= |
Maximalwert des Stromes |
in A |
Ampere |
oder in mA |
| I |
= |
Effektivwert des Stromes |
in A |
Ampere |
oder in mA |
| φ |
= |
Phasenverschiebungswinkel |
in grad |
|
|
Das folgende Bild zeigt eine Spannung mit Ueff
= 10V (û = 14,14V) in der allgemei-
nen Darstellung.
Die nächste Kurve zeigt dieselbe Spannung eines 50Hz-Netzes.
Die Periodendauer hat eine Länge von T = 1 / f = 1 / 50 = 0,020s
= 20ms
*
Die Fourier-Reihen
Jedes periodische Signal mit der Periodendauer T kann
als Summe harmonischer Sig-
nale dargestellt werden. Dabei beträgt die niedrigste Frequenz
= 1 / T. Alle anderen sind ganzzahlige Vielfache dieser
Grundfrequenz (auch Grundschwingung genannt). Diese werden auch
Harmonische oder Oberschwingungen genannt.
| Ein Beispiel für ein Signal mit der
Frequenz von 50Hz: |
| die Grundfrequenz beträgt |
50Hz |
| die Oberschwingungen betragen dann |
2 · 50Hz = 100Hz |
| |
3 · 50Hz = 150Hz |
| |
4 · 50Hz = 200Hz |
| |
usw. |
Damit zeigt sich, dass jede von der Sinusform abweichende
Kurvenform mit Ober-
schwingungen behaftet ist und somit unter Umständen hochfrequente
Störungen verursachen kann!
Bei den unten folgenden Formeln ist zu beachten, dass die
Fourier-Reihen rein theo-
retisch bis ins unendliche (bis zu sehr hohen Werten der Oberschwingungen)
laufen. Je mehr Oberschwingungen berücksichtigt werden, desto
mehr nähert sich das ad-
dierte Signal aus festem Wert (wenn in der Gleichung vorhanden),
Grundschwingung (wenn in der Gleichung vorhanden) und Oberschwingungen
dem Originalsignal an.
Im Folgenden werden fünf ausgewählte Signale mit folgenden
Vorgaben dargestellt:
û = 1V
f = 50Hz
Verhältnis der Ein- und Ausschaltzeit (auch Puls-Pausen-Verhältnis
genannt) = 1 : 1
*
Die Zweiweggleichrichtung einer Sinusspannung
Wie man im Folgenden sieht, ist selbst das Signal der Zweiweggleichrichtung
einer Sinusspannung mit Oberschwingungen behaftet.
Die Formel:
Das Originalsignal:
Wegen der Auflösung werden bei den folgenden Signalen immer
nur der feste Wert (wenn in der Gleichung vorhanden; in diesem
Fall = 2 · û / π), die Grundschwingung
(wenn in der Gleichung vorhanden) und die ersten vier Oberschwingungen
darge-
stellt.
| Der feste Wert und die einzelnen Oberschwingungen: |
| fester
Wert = 2 · û / π |
gestrichelt |
|
|
| sin
2ωt = |
sin 2 ·
π · 2f · t |
2 · f = 2 · 50Hz
= |
100Hz |
|
| sin
4ωt = |
sin 2 ·
π · 4f · t |
4 · f = 4 · 50Hz
= |
200Hz |
|
| sin
6ωt = |
sin 2 ·
π · 6f · t |
6 · f = 6 · 50Hz
= |
300Hz |
|
| sin
8ωt = |
sin 2 ·
π · 8f · t |
8 · f = 8 · 50Hz
= |
400Hz |
|
Damit die Entstehung der Signale besser nachvollzogen werden
kann, wird bei den folgenden Signalen immer nur das Signal dargestellt,
das sich durch die Addition eines festen Wertes (wenn in der
Gleichung vorhanden), der Grundschwingung (wenn in der Gleichung
vorhanden) und der ersten acht Oberschwingungen ergibt.
Die Addition des festen Wertes und der Oberschwingungen (100Hz,
200Hz, 300Hz, 400Hz, 500Hz, 600Hz, 700Hz und 800Hz):
*
Die Rechteckwechselspannung
Die Formel:
Das Originalsignal:
| Die Grundschwingung und die einzelnen
Oberschwingungen: |
| sin
ωt = |
sin 2 ·
π · f · t |
1 · f = 1 · 50Hz
= |
50Hz |
|
| sin
3ωt = |
sin 2 ·
π · 3f · t |
3 · f = 3 · 50Hz
= |
150Hz |
|
| sin
5ωt = |
sin 2 ·
π · 5f · t |
5 · f = 5 · 50Hz
= |
250Hz |
|
| sin
7ωt = |
sin 2 ·
π · 7f · t |
7 · f = 7 · 50Hz
= |
350Hz |
|
| sin
9ωt = |
sin 2 ·
π · 9f · t |
9 · f = 9 · 50Hz
= |
450Hz |
|
Die Addition der Grundschwingung (50Hz) und der Oberschwingungen
(150Hz, 250Hz, 350Hz, 450Hz, 550Hz, 650Hz, 750Hz und 850Hz):
*
Der Rechteckimpuls
Das folgende Signal entspricht im Prinzip dem Signal der
Pulsweitenmodulation (PWM) bei einem Verhältnis der Ein-
und Ausschaltzeit (auch Puls-Pausen-Verhält-
nis genannt) von 1 : 1.
Die Formel:
Das Originalsignal:
| Der feste Wert, die Grundschwingung
und die einzelnen Oberschwingungen: |
| fester
Wert = û / 2 |
gestrichelt |
|
|
| sin
ωt = |
sin 2 ·
π · f · t |
1 · f = 1 · 50Hz
= |
50Hz |
|
| sin
3ωt = |
sin 2 ·
π · 3f · t |
3 · f = 3 · 50Hz
= |
150Hz |
|
| sin
5ωt = |
sin 2 ·
π · 5f · t |
5 · f = 5 · 50Hz
= |
250Hz |
|
| sin
7ωt = |
sin 2 ·
π · 7f · t |
7 · f = 7 · 50Hz
= |
350Hz |
|
| sin
9ωt = |
sin 2 ·
π · 9f · t |
9 · f = 9 · 50Hz
= |
450Hz |
|
Die Addition des festen Wertes, der Grundschwingung (50Hz)
und der Oberschwin-
gungen (150Hz, 250Hz, 350Hz, 450Hz, 550Hz, 650Hz, 750Hz und
850Hz):
*
Die Dreieckwechselspannung
Die Formel:
Das Originalsignal:
| Die Grundschwingung und die einzelnen
Oberschwingungen: |
| sin
ωt = |
sin 2 ·
π · f · t |
1 · f = 1 · 50Hz
= |
50Hz |
|
| sin
3ωt = |
sin 2 ·
π · 3f · t |
3 · f = 3 · 50Hz
= |
150Hz |
|
| sin
5ωt = |
sin 2 ·
π · 5f · t |
5 · f = 5 · 50Hz
= |
250Hz |
|
| sin
7ωt = |
sin 2 ·
π · 7f · t |
7 · f = 7 · 50Hz
= |
350Hz |
|
| sin
9ωt = |
sin 2 ·
π · 9f · t |
9 · f = 9 · 50Hz
= |
450Hz |
|
Die Addition der Grundschwingung (50Hz) und der Oberschwingungen
(150Hz, 250Hz, 350Hz, 450Hz, 550Hz, 650Hz, 750Hz und 850Hz):
*
Die Sägezahnwechselspannung
Die Formel:
Das Originalsignal:
| Die Grundschwingung und die einzelnen
Oberschwingungen: |
| sin
ωt = |
sin 2 ·
π · f · t |
1 · f = 1 · 50Hz
= |
50Hz |
|
| sin
2ωt = |
sin 2 ·
π · 2f · t |
2 · f = 2 · 50Hz
= |
100Hz |
|
| sin
3ωt = |
sin 2 ·
π · 3f · t |
3 · f = 3 · 50Hz
= |
150Hz |
|
| sin
4ωt = |
sin 2 ·
π · 4f · t |
4 · f = 4 · 50Hz
= |
200Hz |
|
| sin
5ωt = |
sin 2 ·
π · 5f · t |
5 · f = 5 · 50Hz
= |
250Hz |
|
Die Addition der Grundschwingung (50Hz) und der Oberschwingungen
(100Hz, 150Hz, 200Hz, 250Hz, 300Hz, 350Hz, 400Hz und 450Hz):
*
Weitere Fourier-Reihen für andere Kurvenformen können in
jeder guten mathema-
tischen Formelsammlungen gefunden werden.
Erstellt am: 10.04.2008
Letzte Aktualisierung: 10.04.2008
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